Auf dieser Seite geht es darum, die Fläche eines Kreises dadurch zu berechnen, dass man in den Kreis ein Polygon, also ein Vieleck, und zwar ein regelmäßiges Vieleck, dessen Seiten alle gleich lang sind, so hineinzeichnet, dass alle Eckpunkte auf dem Kreis liegen.
Die Fläche dieses Vielecks lässt sich relativ leicht berechnen; wie man das macht, wird im Folgenden gezeigt.
Lässt man die Anzahl Ecken immer größer werden, gleicht sich das Vieleck immer mehr dem Kreis an und seine Fläche entspricht immer mehr der Kreisfläche.

Zunächst wollen wir aber die Fläche eines Vielecks mit n Ecken und Radius r berechnen. Am Beispiel des nachstehenden Fünfecks (n=5) soll anschaulich werden, wie das geht:

Man kann jedes regelmäßige Vieleck in so viele gleiche gleichschenkelige Dreiecke zerlegen, wie das n-Eck Ecken hat (also n). Die Ecken der Dreiecke sind immer der Mittelpunkt und zwei benachbarte Ecken des Vielecks.
Die beiden gleichen Schenkel dieser Dreiecke haben jeweils die Länge des Kreisradius r.
Die Fläche des Fünfecks ist also fünf mal die Fläche des Dreiecks ABM:

A₅ = 5 · A_Dreieck-ABM

Oder allgemein ist die Fläche eines regelmäßigen n-Ecks:

A_n = n · A_Dreieck-ABM

Die Fläche eines Dreiecks ist die halbe Grundseite mal seine Höhe. Beide habe ich oben eingezeichnet: Die Grundseite heißt S (wie Sehne des Kreises), die Höhe heißt h. Der Winkel in der Dreiecksecke, die am Mittelpunkt liegt, lässt sich ganz leicht berechnen:

α = 360° / n

weil es ja n gleiche Dreiecke sind, deren Winkel zusammen den Vollkreis ergeben müssen.

Die Länge der Grundseite S können wir mit diesem Winkel und dem Cosinus-Satz bestimmen, denn wir kennen die Längen der beiden Schenkel, die diesen Winkel umschließen. Damit es später einfacher weiterzurechnen geht, belassen wir es zunächst bei der Formel für S²:

Die Höhe h des Dreiecks können wir uns jetzt ausrechnen, indem wir uns ein rechtwinkliges Dreieck schaffen und den alten Pythagoras bemühen: Wir halbieren die Grundseite S. (Dass die eine Kathete genau die halbe Grundseite ist, wissen wir, weil es sich bei ABM um ein gleichschenkeliges Dreieck handelt.)
Auch h belassen wir zunächst im Quadrat:

Nun haben wir S und h und können die Dreiecks- und die n-Ecksfläche berechnen. Da wir S und h als Quadrate berechnet haben, quadrieren wir auch obige Flächenformel, damit wir diese Ausdrücke direkt einsetzen können:

Zum Beweis, dass man diese Formeln mit dem komischen Namen nicht nur zur Schikane auswendig lernen musste, wenden wir jetzt die dritte binomische Formel an: (a-b)(a+b)=a²-b²
Außerdem rufen wir uns den Zusammenhang ins Gedächtnis, dass sin²(x)+cos²(x)=1 ist und vereinfachen damit den Ausdruck:

Nun brauchen wir nur noch die Wurzel zu ziehen und erhalten eine wunderbar einfache Formel für die Fläche eines n-eckigen Polygons:

Bevor wir nun zur Berechnung der Fläche eines Polygons mit hinreichend großer Eckenzahl kommen, soll nachstehendes Geogebra-Appplet den Vorgang veranschaulichen:
Es zeigt ein regelmäßiges Vieleck in einem Kreis, dessen Eckenzahl n und Radius r man mit Hilfe zweier Schieberegler einstellen kann.
Vergrößert man die Eckenzahl, kann man erkennen, dass die angezeigte Polygonfläche einem bestimmten Wert zustrebt. Stellt man den Radius auf r=1, so ist dieser Wert π (s.u.).

Die Fläche eines Kreises ist:

A_Kreis = π · r²

Also muss sich die Polygonfläche der Zahl π annähern, wenn man den Radius zu r=1 wählt.

In unten stehender Tabelle habe ich für einige Werte von n und r=1 aufgeschrieben, was für die Polygonfläche herauskommt, wenn man beides in die obige Formel einsetzt. Die ganz rechte Spalte zeigt jeweils die Differenz zu π.

Wie man sieht, muss man schon ganz schön viele Ecken haben, damit die Näherung halbwegs stimmt. Da der Rechenaufwand aber unabhängig von der Anzahl Ecken immer der selbe ist, weil man ja nur in eine Formel einsetzen muss, ist das nicht weiter tragisch.

Der gute alte Isaac Newton hat die Infinitesimalrechnung (differenzieren und integrieren) nicht nur erfunden, er hat damit auch gleich einen sagenhaften Schachzug bei der Berechnung von Pi gemacht und Lebenswerke früherer Mathematiker, die die oben beschriebene Methode verwendet haben, schlagartig obsolet gemacht!
Auf  YouTube (englisch) gibt es ein wunderbares Video, das die ganze Geschichte erzählt, die noch weitere tolle Ideen, z.B. zum Pascal'schen Dreieck und der Berechnung von Binomen mit Potenzen größer als zwei enthält.
Sobald ich etwas mehr Zeit habe, werde ich hier ein Geogebra-Applet dazu bereitstellen.