"Erwartungswert" ist eine Größe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die den Durchschnittswert angibt, den eine Zufallsgröße annähme, wenn man ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholte. Bei einem fairen Würfel ist der Erwartungswert der Augenzahl eines Wurfs zum Beispiel 3,5.
Man berechnet den Erwartungswert, indem man jeden möglichen Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, mit der Wahrscheinlichkeit seines Eintreffens multipliziert und alle diese Produkte aufsummiert.
Bei einer Gleichverteilung, wenn also jeder Ausgang des Experiments gleich wahrscheinlich ist, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit als Kehrwert der Anzahl der möglichen Ausgänge. Bei einem Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse, also hat jeder Ausgang die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$

Wie viele Schlaufen kann es überhaupt geben?
Betrachten wir die Extreme, die auftreten können:
Wenn wir beim Verbinden der losen Enden niemals (außer beim letzten Mal) die beiden Enden derselben Schnur verbinden, erhalten wir am Schluss genau eine Schlaufe.
Wenn wir jedes Mal die Enden ein und derselben Schnur verbinden, erhalten wir am Schluss n Schlaufen.
Dazwischen sind alle Werte möglich, also kann unsere Zufallsgröße X die Werte von 1 bis n annhemen.

Wir sind noch nicht viel weiter und sollten uns die Mechanismen beim Zusammenbinden der Enden vor Augen führen:
Dazu sollten wir mit einer einfacheren Variante des Rätsels als n=10 beginnnen:
Die einfachste ist n=1: Wenn nur eine Schnur in der Kiste liegt, erhalten wir am Schluss des Experiments 1 Schlaufe und eine andere Möglichkeit gibt es nicht.
Das Ergebnis 1 hat also die Wahrscheinlichkeit 100 %.
Wenn zwei Schnüre in der Kiste liegen (n=2), ist der Ablauf wie folgt:
Zuerst greifen wir zufällig eines der vier Enden. Welche Wahrscheinlichkeit gibt es dann dafür, dass eine Schlaufe entsteht?
Dafür müssen wir jetzt genau das Ende der Schnur greifen, die wir schon in der Hand halten.
Weil noch drei Enden in der Kiste liegen, ist die Wahrscheinlichkeit dafür $\frac{1}{3}$.
Egal ob wir eine Schlaufe bilden oder nicht, wird danach aber nur noch eine Schnur mit zwei offenen Enden in der Kiste liegen.
Im Durchschnitt vieler Experimente mit zwei Schnüren liefert die erste Verknotung also $\frac{1}{3}$ Schlaufen und die letzte auf jeden Fall eine weitere.

Die wesentlichen Gedanken sind also, dass sich zum einen bei jedem Schritt (dem Verbinder zweier Enden) die Anzahl der Schnüre um eine reduziert und dass zum anderen der Beitrag eines Verknüpfungsschritts zur Anzahl der Schlaufen der Wahrscheinlichkeit dafür entspricht, dass in diesem Schritt eine weitere Schlaufe entsteht. Und diese Wahrscheinlichkeit ist der Kehrwert der noch verbleibenden losen Enden, nachdem man ein Ende gefasst hat.
(Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, bei einem bestimmten n eine bestimmte Anzahl Schlaufen zu erhalten! Deswegen wird bei dieser Herangehensweise nicht multipliziert, wie eingangs bei der Erklärung des Erwartungswertes erwähnt (sorry für die Irreführung!), sondern es werden die Erwartungswerte aufsummiert, mit denen man bei jedem Verknüpfungsschritt eine weitere Schlaufe erhält: Im vorletzten Schritt bekommt man im Mittel $\frac{1}{3}$ Schlaufe und im letzten erhält man im Mittel $1$ Schlaufe.)

Bleibt noch zu klären, wie groß der Erwartungswert für n=2 und für n=10 denn nun ist:
Für n=2 ist es die Summe der Beiträge der beiden Verknüpfungsschritte, die man machen kann: $\mathrm{E}\left(X\right)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$
Bei jedem Verknüpfungsschritt ist die Wahrscheinlichkeit $p$, eine neue Schlaufe zu erzeugen, gleich dem Kehrwert der noch in der Kiste liegenden losen Enden, nachdem man das erste bereits in die Hand genommen hat:
$p=\frac{1}{(2k-1)}$
mit $k$ als der Anzahl aktuell noch in der Kiste befindlichen Schnüre, die sich ja nach jeder Verknüpfung um $1$ reduziert.
Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Beitrag, den dieser Schritt der Anzahl am Ende verbleibender Schlaufen hinzufügt.
Der gesuchte Erwartungswert berechnet sich deswegen zu

Das ist für n=10 zu Fuß recht umständlich zu rechnen. Es ergibt sich ein Wert von $\mathrm{E}\left(X\right)=\frac{\mathrm{31.037.876}}{\mathrm{14.549.535}}\approx \mathrm{2,133}$