"Erwartungswert" ist eine Größe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die den Durchschnittswert angibt, den eine Zufallsgröße annähme, wenn man ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholte. Bei einem fairen Würfel ist der Erwartungswert der Augenzahl eines Wurfs zum Beispiel 3,5.
Man berechnet den Erwartungswert, indem man jeden möglichen Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, mit der Wahrscheinlichkeit seines Eintreffens multipliziert und alle diese Produkte aufsummiert.
Bei einer Gleichverteilung, wenn also jeder Ausgang des Experiments gleich wahrscheinlich ist, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit als Kehrwert der Anzahl der möglichen Ausgänge. Bei einem Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse, also hat jeder Ausgang die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$

Wie viele Schlaufen kann es überhaupt geben?
Betrachten wir die Extreme, die auftreten können:
Wenn wir beim Verbinden der losen Enden niemals (außer beim letzten Mal) die beiden Enden derselben Schnur verbinden, erhalten wir am Schluss genau eine Schlaufe.
Wenn wir jedes Mal die Enden ein und derselben Schnur verbinden, erhalten wir am Schluss n Schlaufen.
Dazwischen sind alle Werte möglich, also kann unsere Zufallsgröße X die Werte von 1 bis n annhemen.