Punkte im Dreieck |
Diese Seite über verschiedene besondere Punkte an Dreiecken ist eigentlich ein Zufallsprodukt: Ich war im Internet über den Begriff der Eulerschen Gerade gestolpert, habe darüber nachgelesen und dabei mit ungläubigem Staunen festgestellt, wie wenig man in der Schule über Dreiecke lernt - obwohl ich mich gut erinnern kann, dass ich es als Schüler schon viel zu viel fand.
Normalerweise lernt man, wie man den Schwerpunkt ermittelt und wie man Umkreis, Inkreis und Ankreise konstruiert, also auch wie man deren Mittelpunkt findet. Dass drei dieser vier Punkte auf einer Geraden, nämlich der sogenannten Eulerschen Geraden liegen, habe zumindest ich schon nicht mehr gelernt - oder wieder vergessen.
Es gibt aber einen regelrechten Katalog von 3.588 besonderen Punkten im Zusammenhang mit Dreiecken, von denen dann auch noch eine Reihe auf besonderen Kurven - Geraden, Kreisen oder Hyperbeln - liegen. Und das ist unabhängig vom Aussehen des Dreiecks. Für rechtwinklige, gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke gibt es dann noch weitere Besonderheiten.
Wer sich mit noch weiteren als den hier vorgestellten besonderen Punkten des Dreiecks befassen will, sollte sich diese Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers ansehen (englisch)!
Das Ganze fand ich so faszinierend, dass ich diese Seite hier erstellt habe, auf der ich die wichtigsten 14 Punkte und die sie verbindenden Kurven in einem Geogebra-Applet vorstelle.
Meine Auswahl entspricht ungefähr der in der Wikipedia. Dort sind diese Punkte auch erklärt; auf meiner Seite liegt der Schwerpunkt deshalb auf ihrer gemeinsamen Darstellung in der gewohnt interaktiven Geogebra-Umgebung.
Damit es nicht zu übersichtlich wird, kann man jeden Punkt und die zugehörigen Hilfskonstruktionen separat an- und abwählen. Alle Themen werden in unterschiedlichen Farben dargestellt. Punkte eines anderen Themas werden ggf. mit eingeblendet, wenn sie relevant sind.
Die drei Eckpunkte des Dreiecks A, B und C kann man beliebig mit der Maus bewegen, um zu sehen, dass die hier beschriebenen Zusammenhänge tatsächlich für alle Dreiecke gelten.
Beginnen wir mit den aus der Schule bekannten Punkten:
Die drei Eckpunkte eines Dreiecks liegen auf einem Kreis, seinem sogenannten Umkreis. Man findet seinen Mittelpunkt MU, indem man auf den Mittelpunkten zweier Seiten des Dreiecks eine Senkrechte errichtet. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Mittelpunkt. Auch die Senkrechte auf der dritten Seite geht durch diesen Punkt, aber natürlich ist er bereits mit zweien festgelegt.
Umgekehrt definieren die drei Punkte A, B, C den Kreis eindeutig, wohingegen man beliebig viele Kreise finden kann, die durch nur zwei der drei Punkte laufen.
Auch für die Dreieckshöhe, die zur Flächenberechnung des Dreiecks gebraucht wird, müssen wir senkrechte Linien bilden, allerdings nicht durch den Mittelpunkt einer Seite sondern durch den nicht zu dieser Seite gehörenden Punkt. Man sagt auch: "Wir fällen das Lot von Punkt C auf die Seite c." (Bzw. von Punkt A auf Seite a oder von Punkt B auf Seite b.)
Die drei Höhenlinien schneiden sich in einem Punkt, dem sogenannten Höhenschnittpunkt H.
Die Punkte, an denen die Höhenlinien mit den Dreiecksseiten den rechten Winkel bilden, nennt man Höhenfußpunkte. Sie spielen eine Rolle im Zusammenhang mit dem Feuerbachkreis.
Den Schwerpunkt S des Dreiecks finden wir, indem wir die Mittelpunkte der Dreiecksseiten, die wir auch schon zur Konstruktion des Umkreises verwendet haben, mit den ihnen jeweils gegenüberliegenden Ecken des Dreiecks verbinden. Die Verbindungslinien heißen Schwerelinien. Die drei vorstehend beschriebenen Punkte liegen immer auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden. (Den Beweis dazu gibt es hier auf Matheplanet.) Ist das Dreieck gleichseitig, fallen die drei Punkte zusammen, so dass die Eulersche Gerade nicht eindeutig definiert ist.
Michael Janßen, 15. Juli 2010, Erstellt mit GeoGebra Im Gegensatz zum Umkreis ist der Inkreis derjenige Kreis
Der Schwerpunkt ist derjenige Punkt, auf dem wir das Dreieck balancieren könnten, wenn es z.B. aus Blech real existierte. Wenn wir das Dreieck an einem beliebigen anderen Punkt aufhängen, befindet sich der Schwerpunkt immer unter diesem Aufhängepunkt.
Der Schwerpunkt teilt die Schwerelinien jeweils im Verhältnis 2:1, d.h. der Teil auf einer Seite des Schwerpunkts ist doppelt so groß wie der auf der anderen.
Warum das so ist, hat Arndt Brünner hier sehr schön erklärt.
Im Schwerpunkt schneiden sich die Eulersche Gerade, die Verbindungsgerade von Nagelpunkt N und Inkreismittelpunkt MI sowie von Gergonnepunkt G und Mittenpunkt MA.
Um den Radius bzw. einen Punkt auf der Kreislinie zu finden, braucht es noch einen Schritt mehr als beim Umkreis, bei dem wir ja wissen, dass jeder Eckpunkt darauf liegt. Welche Punkte der Dreiecksseiten auf dem Inkreis liegen, wo dieser sie also berührt, erfahren wir, indem wir vom Mittelpunkt aus das Lot auf die Seiten fällen.
Der Inkreismittelpunkt liegt nur bei gleichschenkligen Dreiecken auf der Eulerschen Gerade.
Dafür liegt er immer auf einer Gerade mit dem Gergonne- und dem Longchampspunkt.
Es gibt noch weitere Kreise, die jede Seite eines Dreiecks genau einmal berühren - jedenfalls wenn man zulässt, dass die Dreiecksseiten über die Eckpunkte hinaus zu Geraden verlängert werden. Dann kann man nämlich zu jeder Dreiecksseite einen Kreis finden, der - im Gegensatz zum Inkreis - außerhalb des Dreiecks liegt und die Seite selbst sowie die Verlängerungen der beiden anderen berührt, und das geht so: Diesmal nehmen wir die Senkrechte auf die Winkelhalbierende, die durch den zugehörigen Eckpunkt geht; man kann auch sagen die Winkelhalbierende des Außenwinkels (durchgezogene gelbe Linien). Diese schneidet sich mit den Außenwinkelhalbierenden der beiden anderen Punkte im Mittelpunkt der sogenannten Ankreise. Den Punkt auf der Kreislinie respektive den Radius finden wir wieder, indem wir von den Mittelpunkten das Lot auf die Seiten fällen. (Wem das zu schnell ging, der findet hier eine detaillierte Anleitung.)
Diese Punkte, in denen die Ankreise die Seiten des Dreiecks berühren, werden übrigens zur Konstruktion des Nagelpunkts gebraucht:
Der Nagelpunkt N ist nämlich der Schnittpunkt der Verbindungslinien der Berührpunkte der Ankreise mit den ihnen jeweils gegenüberliegenden Ecken.
Nagelpunkt, Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt liegen auf einer Geraden, die nur bei gleichschenkligen Dreiecken mit der Eulerschen Geraden zusammenfällt.
Der Abstand des Schwerpnuktes S vom Nagelpunkt N ist genau doppelt so groß wie sein Abstand vom Inkreismittelpunkt MI. S teilt also die Strecke N-I im Verhältnis 2:1.
Verbindet man die Mittelpunkte der Ankreise mit den Mittelpunkten der Seiten, so schneiden sich diese Verbindungslinien im sogenannten Mittenpunkt. (Beachte das "n" in der Wortmitte!)
Der Mittenpunkt liegt auf einer Gerade mit dem Spieker- und dem Höhenschnittpunkt.
Außerdem liegt er mit dem Gergonnepunkt und dem Schwerpunkt auf einer Gerade, die komischerweise keinen besonderen Namen hat.
Ebenso mit dem Inkreismittelpunkt und dem Lemoine-Punkt.
Der Mittenpunkt ist Lemoinepunkt des Dreiecks, das aus den Ankreismittelpunkten gebildet wird.
So etwas wie ein Verwandter des Nagelpunktes ist der Gergonnepunkt: Er ist der Schnittpunkt der Verbindungslinien von den Dreiecks-Ecken zu den Berührungspunkten des Inkreises. (Beim Nagelpunkt sind es die der Ankreise.)
Auch bei den Geraden, die sie mit anderen Punkten bilden, haben Gergonnepunkt und Nagelpunkt die Partner vertauscht: Der Gergonnepunkt liegt mit dem Mittenpunkt und dem Schwerpunkt auf einer Geraden. (Beim Nagelpunkt waren es Inreismittelpunkt und Schwerpunkt.)
Sieh dir beide Punkte in der Zeichnung an und du wirst schon anhand der Farben die Dualität erkennen!
Außerdem liegen Longchamps-, Inkreismitten- und Gergonnepunkt auf einer Geraden.
Eine etwas aufwendigere Konstruktion braucht man, um die beiden Fermatpunkte zu finden: Dazu errichtet man auf jeder Seite des Dreiecks nach außen hin ein gleichseitiges Dreieck. Auf diese Weise entsteht eine Art dreizackiger Stern. Die Spitzen dieses Sterns - also diejenigen Ecken der gleichseitigen Dreiecke, die nicht zum ursprünglichen Dreieck gehören - verbindet man nun mit den ihnen jeweils gegenüberliegenden Eckpunkten des ursprünglichen Dreiecks. Diese drei Verbindungslinien schneiden sich - mal wieder - alle in einem Punkt. Das ist der erste Fermatpunkt.
Den zweiten Fermatpunkt findet man nach dem selben Verfahren, nur dass man die gleichseitigen Dreiecke nicht nach außen hin erstellt sondern nach innen.
Der erste Fermatpunkt liegt genau dann innerhalb des Dreiecks, wenn alle Winkel des Dreiecks kleiner sind als 120°. In diesem Fall ist die Summe der Entfernungen vom Fermatpunkt zu den Ecken des Dreiecks FA + FB + FC minimal.
Außerdem sieht man dann vom ersten Fermatpunkt aus alle Eckpunktepaare des Dreiecks unter einem Winkel von 120°, d.h. stehe ich auf dem Fermatpunkt und blicke in Richtung einer Ecke, muss ich mich um genau 120° links oder rechts herum drehen, um einen der anderen beiden Eckpunkte zu sehen.
Falls der erste Fermatpunkt außerhalb des Dreiecks liegt, wenn also einer der Dreieckswinkel größer ist als 120°, dann sieht man nur eins der drei Paare unter diesem Winkel, die anderen beiden sieht man unter 60° oder anders ausgedrückt: Dann liegt die Peilung zu einem der drei Punkte immer mittig zwischen den beiden anderen.
Dieser zuletzt beschriebene Sachverhalt trifft auf den zweiten Fermatpunkt immer zu, unabhängig davon wie groß die Dreieckswinkel sind.
Falls ein Dreieckswinkel genau 120° groß ist, kommt der erste Fermatpunkt genau auf den zugehörigen Eckpunkt zu liegen.
Die Fermat-Punkte liegen auf der Kiepert-Hyperbel, von der weiter unten noch die Rede sein wird.
Napoleon fand zwei weitere, heute nach ihm benannte besondere Punkte am Dreieck: Er verband nicht die Ecken sondern die Schwerpunkte der auf den Seiten errichteten Fermat'schen Dreiecke mit den jeweils gegenüber liegenden Ecken des ursprünglichen Dreiecks. Auch diese Verbindungslinien schneiden sich wieder in einem Punkt. Je nachdem, ob die Dreiecke nach außen oder innen aufgetragen werden, erhält man wieder den ersten (außen) bzw. zweiten (innen) Napoleonpunkt.
Auch die Napoleonpunkte liegen auf der unten beschriebenen Kiepert-Hyperbel.
Der Lemoinepunkt ist derjenige Punkt, dessen Abstand zu einer Seite proportional zu deren Länge ist oder mit anderen Worten: Der Quotient aus Seitenlänge und Abstand zum Lemoinepunkt ist für alle drei Seiten gleich.
Für die Konstruktion dieses Punktes braucht man ein sehr komisches Ding: Die Symmediane.
Das ist die Linie, die aus der Spiegelung einer Schwerelinie an der zugehörigen Winkelhalbierenden hervorgeht. Der Schnittpunkt der drei Symmedianen ist der Lemoinepunkt.
Er liegt auf einer Geraden mit Inkreismittelpunkt und Mittenpunkt.
Der Lemoinepunkt ist außerdem der Punkt im Dreieck, bei dem die Summe der Quadrate seiner Abstände zu den Seiten des Dreiecks minimal ist.
Noch immer ist es nicht genug mit den besonderen Punkten am Dreieck; da gibt es nämlich noch den Spiekerpunkt. Den findet man, wenn man die Mittelpunkte der Seiten zu einem neuen, dem sogenannten Innendreieck verbindet. Der Spiekerpunkt ist der Inkreismittelpunkt des Innendreiecks.
(Übrigens: Das Innendreieck erzeugt aus dem ursprünglichen Dreieck vier kleinere, kongruente Dreiecke).
Der Spiekerpunkt liegt auf einer Geraden mit Höhenschnittpunkt und Mittenpunkt.
Außerdem liegt er auf einer anderen Geraden mit Nagelpunkt, Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt.
Der Spiekerpunkt halbiert die Strecke zwischen Nagel- und Inkreismittelpunkt. Demzufolge ist sein Abstand zum Schwerpunkt genau ein Sechstel der Strecke Nagelpunkt - Inkreismittelpunkt, weil der Schwerpunkt diese Strecke ja im Verhältnis 2:1 teilt.
Der Spiekerpunkt ist der Schwerpunkt des Dreiecksumfangs.
Der Spiekerpunkt ist der Mittelpunkt des Kreises, der die drei Ankreise rechtwinklig schneidet.
Der Spieker-Punkt liegt auf der Kiepert-Hyperbel.
Als letzten der hier vorgestellten besonderen Punkte am Dreieck gibt es noch den Longchampspunkt. Seine Definition ist einfach: Es ist die Spiegelung des Höhenschnittpunkts am Umkreismittelpunkt.
Da sowohl Höhenschnittpunkt als auch Umkreismittelpunkt auf der Eulerschen Geraden liegen, tut es der Longchamps-Punkt auch.
Der Longchamps-Punkt liegt mit dem Gergonne-Punkt und dem Inkreismittelpunkt auf einer Geraden.
Das waren die interessantesten der 3.588 Punkte aus dem Katalog der besonderen Punkte im Dreieck.
Wenden wir uns nun den besonderen Kurven zu:
Als erstes eine Zusammenfassung der vielen zuvor schon erwähnten Geraden, die verschiedene besondere Punkte miteinander verbinden. Wenn Teilerverhältnisse angegeben werden können, stehen diese zwischen den Punktbezeichnungen:
- Höhenschnittpunkt - 2 - Schwerpunkt - 1 - Umkreismittelpunkt (Eulersche Gerade)
- Gergonnepunkt - 2 - Schwerpunkt - 1 - Mittenpunkt
- Nagelpunkt - 2 - Schwerpunkt - 1 - Inkreismittelpunkt
Inkreismittelpunkt - 1 - Spiekerpunkt - 1 - Nagelpunkt
Abstand Spiekerpunkt - Schwerpunkt = 6 * Nagelpunkt - Inkreismittelpunkt - Höhenschnittpunkt - Spiekerpunkt - Mittenpunkt
- Gergonnepunkt - Inkreismittelpunkt - Langchampspunkt
- Lemoinepunkt - Inkreismittelpunkt - Mittenpunkt
Die nächste besondere Kurve ist der Feuerbachkreis. Auf dem Feuerbachkreis liegen neun markante Punkte des Dreiecks:
- Die drei Fußpunkte der Höhenlinien (blau).
- Die Mittelpunkte der Seiten Ma, Mb und Mc (orange).
- Die Punkte Fh,a, Fh,b und Fh,c, die die Strecken zwischen dem Höhenschnittpunkt H und den Ecken des Dreiecks halbieren.
Der Feuerbachkreis berührt den Inkreis in genau einem Punkt, dem Feuerbachpunkt.
Der Feuerbachkreis berührt alle Ankreise jeweils in genau einem Punkt (gelb).
Der Radius des Feuerbachreises entspricht dem halben Radius des Umkreises.
Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises liegt mitten zwischen Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt MU, also auch auf der Eulerschen Geraden.
Der Feuerbachkreis geht genau dann durch eine Ecke des Dreiecks (nämlich den Scheitel des rechten Winkels), wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
Der Feuerbachkreis berührt genau dann eine Dreiecksseite (nämlich die Basis), wenn das Dreieck gleichschenklig ist.
Der Feuerbachkreis stimmt genau dann mit dem Inkreis überein, wenn das Dreieck gleichseitig ist.
Zuguterletzt noch eine etwas ungewöhnliche Kurve, eine Hyperbel. Allgemein gesehen ist eine Hyperbel ein Kegelschnitt wie Kreis, Ellipse und Parabel auch.
Man kann im Dreieck eine Hyperbel finden, auf der zehn der hier behandelten (und noch weitere) besondere Punkte liegen, nämlich
- die Ecken des Dreiecks,
- der Höhenschnittpunkt,
- der Schwerpunkt,
- der Spieker-Punkt,
- die beiden Napoleon-Punkte,
- die beiden Fermat-Punkte,
Außerdem ist die Kiepert-Hyperbel, so sagt die Wikipedia, der geometrische Ort aller Perspektivitätszentren von Kiepertdreiecken. Da mir persönlich das erst mal gar nichts gesagt hat, habe ich ein wenig weiter geforscht, aber nirgendwo eine anschauliche Erklärung dieses schönen Worts gefunden. Deshalb habe ich dazu eine weitere Geogebra-Darstellung angefertigt, aus der zwar die Geschichte mit der Perspektive nicht ersichtlich ist, aber zumindest kann man sehen, welcher Punkt sich unter welchen Bedingungen auf der Kiepert-Hyperbel bewegt:
Als erstes haben wir wieder unser Dreieck ABC (rot), dessen Eckpunkte sich frei bewegen lassen.
Auf jeder Seite dieses Dreiecks ist jeweils ein gleichschenkeliges Dreieck errichtet (orange); dass sie gleichschenklig sind, gewährleisten wir, indem ihre äußeren Ecken D, E und F auf den Mittelsenkrechten der Seiten des ursprünglichen Dreiecks liegen. Diese drei Dreiecke sollen ähnlich sein, d.h. sie können zwar unterschiedlich groß sein, haben aber die selben Winkel.
Diese drei gleichschenkligen Dreiecke lassen sich durch den Schieberegler h (blau) verändern; weil sie ja ähnlich sein sollen nur alle gleichzeitig.
Als Kiepert-Dreieck bezeichnet man das aus den Spitzen der drei Dreiecke gebildete Dreieck DEF, das ganz schwach in grün eingezeichnet ist.
Die Kiepert-Hyperbel ist grün eingezeichnet. Zu ihrer Festlegung braucht man nur fünf Punkte. Ich habe aus der Liste derer, die darauf liegen sollen, die drei Ecken des Dreiecks, seinen Schwerpunkt S (schwarz) sowie seinen Höhenschnittpunkt H (blau) ausgewählt.
Das Perspektivitätszentrum P des Kiepert-Dreiecks ist der Schnittpunkt der Verbindungslinien der Eckpunkte D, E und F mit den ihnen jeweils gegenüberliegenden Ecken des ursprünglichen Dreiecks A, B und C.
Dieser Punkt ist fett und rot eingezeichnet.
Verändert man nun mit Hilfe des Schiebereglers die Höhe der aufgesetzten, ähnlichen, gleichschenkligen Dreiecke, wandert das Perspektivitätszentrum auf der Kiepert-Hyperbel. Es hinterlässt dabei eine Spur, die mit der Schaltfläche unter dem Bild wieder gelöscht werden kann.
Bei positiven Werten für h, wenn also die gleichschenkeligen Dreiecke nach außen aufgetragen werden, wandert P zwischen Höhenschnittpunkt H und Schwerpunkt S.
Werden die Dreiecke dagegen nach innen aufgetragen, befindet sich P auf dem übrigen Teil der Hyperbel und wechselt dabei auch den Ast.
Mit der Animationsschaltfläche unten links im Bild kann man h auch automatisch durchlaufen lassen.
Das Ganze erinnert ein wenig an die Konstruktion der zwei Fermatpunkte: Auch dort haben wir Dreiecke nach innen bzw. außen auf die Seiten aufgesetzt, allerdings gleichseitige, was ein Spezialfall der hier nur verlangten gleichschenkligen Dreiecke ist. Jedenfalls ist damit klar, warum die beiden Fermat-Punkte auf der Kiepert-Hyperbel liegen müssen: Sie sind das Perspektivitätszentrum des aus gleichseitigen Dreiecken gebildeten Kiepert-Dreiecks.
Sind nun endgültig alle Klarheiten beseitigt?
Oder schwebt die Frage im Raum: "Wofür das alles?"
Macht nichts!
Mir ging es nur darum, zu zeigen, wie viele Zusammenhänge es bei einem einfachen Dreieck gibt, weil ich davon selbst total überrascht war.
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