"Binomische Formeln" ist ein ziemlich hochtrabender Name für eine ziemlich einfache Sache. Mathelehrer sagen häufig, man müsse sie auswendig hersagen können, wenn man um Mitternacht geweckt werde. Wenn man sie aber nicht auswendig kann, dann muss man sie entweder stupide ausrechnen oder man muss sich vorstellen, was sie bedeuten.

Auf dieser Seite gibt es beides.

Es geht bei der ersten Binomischen Formel darum, wie groß das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist, also wie viel ist (a+b)²?

Erstens: Ausrechnen

(a+b)² = (a+b)*(a+b)

Dabei muss man jedes Element der einen Klammer mit jedem Element der anderen multiplizieren:

a*a + a*b + b*a + b*b =
a² + 2*a*b + b² =
a² + 2ab +b²

Das ist die schwierige Erste Binomische Formel!

Zweitens: Veranschaulichen

Unten siehst du in einem Bild, was diese Formel bedeutet:

Links oben gibt es zwei Schieberegler, mit denen du die Zahlen a und b einstellen kannst. Weiter unten siehst du zwei Strecken, der Länge a und b.

Die Fläche eines Rechtecks rechnet man aus, indem man die Länge der kurzen Seite mal der Länge der langen Seite rechnet. Sind beide gleich lang, hat man ein Quadrat.
a² ist also die Fläche des Quadrats mit der Kantenlänge a.
ab ist die Fläche eines Rechtecks mit den Kanten a und b.
2ab ist die Fläche von zwei solchen Rechtecken.

Klicke die Kontrollkästchen für a², 2ab und b² an, um dir das zu verdeutlichen!

Wenn du nun das Kontrollkästchen für (a+b)² anklickst, erkennst du, das zugehörige Quadrat immer genauso groß ist, wie die beiden Quadrate und die beiden Rechtecke zusammen.

Das ist die Aussage der binomischen Formel - nicht mehr und nicht weniger.

Links neben dem (a+b)-Quadrat, wird das Ganze noch mal mit Zahlen gerechnet, damit du kontrollieren kannst, dass das wirklich stimmt.

Michael Janßen, 31. Oktober 2009, Erstellt mit GeoGebra