Nachdem die Erste Binomische Formel schon so einfach war, ist die zweite auch ein Kinderspiel, denn sie beantwortet nur die Frage, wie groß das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist: (a-b)²

Da wir dieses Problem für die Summe aber schon gelöst haben, können wir die Differenz ganz einfach daraus herleiten, indem wir statt mit b mit -b rechnen, wir setzen also -b in die Erste Binomische Formel ein:

(a-b)² = (a + (-b))² =
a² + 2a(-b) + (-b)² =
a² - 2ab + b²

Alternativ könnten wir den Klammerausdruck genauso ausrechnen, wie wir es bei der Ersten Binomischen Formel getan haben. Dabei müssen wir auch immer das Minus vor dem b beachten:

Erstens: Ausrechnen

(a-b)² = (a-b)*(a-b)

Wieder jedes Element der einen Klammer mit jedem Element der anderen multiplizieren:

a*a + a*(-b) + (-b)*a + (-b)*(-b) =
a² - 2*a*b + b² =
a² - 2ab + b²

Zweitens: Veranschaulichen

Nun wollen wir uns wieder die Bedeutung dieser Rechnung veranschaulichen:

Links oben gibt es zwei Schieberegler, mit denen du die Zahlen a und b einstellen kannst. Weiter unten siehst du zwei Strecken, der Länge a und b.
Die Strecke b wird dabei von der Strecka a abgezogen, deshalb liegen die beiden Linien übereinander.
Mit den Kontrollkästchen kannst du dir wieder die Bedeutung der Quadrate a² und b² bzw. der Rechtecke ab ansehen.
Kannst du erkennen, warum b² nicht auch von a² abgezogen sondern wieder hinzuaddiert werden muss? (Lösung unten!)

Links neben der Zeichnung wird das Ganze noch mal mit Zahlen gerechnet, damit du kontrollieren kannst, dass das wirklich stimmt.

Wenn wir von dem großen Quadrat a² die beiden Rechtecke ab abziehen, dann ist das mehr als wir abziehen dürfen, um auf das (a-b)²-Quadrat zu kommen, weil die Rechtecke sich überlappen.
Der Bereich, in dem sie sich überlappen ist genau b² groß, so dass wir diese Fläche wieder hinzurechnen müssen.

Das Ganze stimmt übrigens auch dann noch, wenn b größer ist als a. Probiere es aus!

Michael Janßen, 02. November 2009, Erstellt mit GeoGebra