Definitionsbereich

Als erstes sollten wir uns fragen, aus welchem Zahlenbereich wir unsere x-Werte nehmen wollen oder dürfen. Diese Menge nennen wir den Definitionsbereich.

Das Beispiel aus der Einleitung hat in diesem Punkt keinerlei Einschränkungen: Wir können uns irgendeine Zahl x zwischen minus und plus unendlich ausdenken und können immer das zugehörige y ausrechnen. x kann eine ganze Zahl, ein Bruch, eine irrationale Zahl sein, es kann positiv oder negativ sein, immer finden wir ein zugehöriges y. Der Definitionsbereich ist also die Menge der reellen Zahlen, man schreibt:

Anmerkung: Es gibt die noch größere Menge der komplexen Zahlen , die wir hier nicht betrachten wollen. Deshalb ist der Definitionsbereich unserer Funktion kleiner als er theoretisch sein könnte.

Mengen schreibt man in der Regel so wie oben dargestellt mit einem Großbuchstaben, bei dem einer der senkrechten Striche verdoppelt wird.

Welche Funktionen können wir uns denn nun vorstellen, bei denen wir nicht alle Zahlen für x auswählen dürfen?

So etwas passiert immer dann, wenn die Funktionsgleichung Rechenvorschriften enthält, die nicht für alle x-Werte definiert sind. Beispielsweise darf man nicht durch die Zahl Null dividieren. Deshalb hat die Funktion

den Definitionsbereich

ist wieder die Menge aller reellen Zahlen von minus bis plus unendlich. Der Schrägstrich "\" bedeutet "ohne" oder "ausgenommen" und die geschweiften Klammern enthalten die Menge der Zahlen, die nicht zum Definitionsbereich gehören sollen.
Man erkennt auch am Graphen, dass an der Stelle Null etwas Komisches passiert: Knapp rechts davon sind die Funktionswerte positiv und sehr groß, knapp links davon sind sie ebenfalls betragsmäßig sehr groß, aber negativ.
(Klicke auf das kleine Bild des Graphen, um es in einem neuen Fenster in groß zu sehen!)
Noch ein Beispiel:

Man erkennt auch hier, dass an den Stellen x = 0, x = 1 und x = -2, also bei den Nullstellen des Nenners, ähnliche komische Dinge passieren.

Eine weitere Funktionen, bei der man mit dem Definitionsbereich aufpassen muss, ist zum Beispiel die Wurzelfunktion: Wenn man wie wir hier nur mit reellen Zahlen rechnet, erlaubt sie keine negativen Werte für x, denn das Ergebnis der Wurzel ist ja diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel (den Radikanten) ergibt; es kann aber keine Zahl geben, die mit sich selbst multipliziert etwas Negatives ergibt.

Der Definitionsbereich der Wurzelfunktion ist also die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen:

Für folgendes Beispiel ergibt sich deswegen ein sowohl nach oben als auch nach unten begrenzter Definitionsbereich. Einen solchen Bereich - ein sogenanntes Intervall - gibt man mit eckigen Klammern an; zeigt die jeweilige Klammer nach innen, gehört die entsprechende Intervallgrenze zum Bereich dazu, wenn sie nach außen zeigt, dann nicht:

Kleiner als eins darf x nicht werden, weil sonst im Zähler die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden müsste. x = 1 ist aber möglich, der Funktionswert ist dann Null. deswegen zeigt die linke Intervallklammer nach innen.
Ebenfalls wegen des dann negativen Radikanten im Nenner darf x auch nicht größer sein als zwei. x = 2 geht aber auch nicht, weil wir dann durch Null dividieren würden. Deshalb gehört die Intervallgrenze 2 nicht mehr zum Wertebereich, was durch die nach außen gewendete Klammer ausgedrückt wird.

Weitere Funktionen, bei denen der Definitionsbereich genau beachtet werden muss, sind:

• die Tangensfunktion, die bei ungeraden Vielfachen von π/2 nicht definiert ist

  

  Dabei bedeutet die Beschreibung des Definitionsbereichs: Die Menge der reellen Zahlen ohne die Zahlen, die sich für (2n-1) π/2 ergeben, wenn n eine natürlich Zahl ist, und das sind genau die oben genannten ungeraden Vielfachen von π/2: π/2, 3π/2, 5π/2 usw.
  

• die Logarithmusfunktionen, die nur positive x-Werte zulassen

  

  Diese Funktion gibt an, mit welchem Exponenten man eine Basis (hier: 10) potenzieren muss, um x zu erhalten.
  

• und viele andere.